結論としては、現時点で致命的（懲戒請求をするような）ミスではないとは思いますが、少し不注意な点が目立つので今後書面を質問者様の方で確認する際は、形式も含めよく確認された方がよいと思われます。
以下一つずつ回答させていただきます。
①脱字部分を手書きで修正
→のぞましくはないですが、時たまあるものと存じます。
通常は、
弁護士が起案
Ⅰ依頼者に内容の確認
Ⅱ弁護士が誤字脱字等を確認
Ⅲ念のため事務員が確認
Ⅳ提出
の流れになりますので、どこかの段階で気が付くことが多いです。仮処分等緊急性が高い案件では提出時に裁判所窓口で修正して受理してもらうということはありますので、その場合は責められない部分もあるかと思います。
②証拠である薬品名を間違っている
→こちらは①のⅠかⅡの段階で修正しておくべきでしょうね。よくわからないならば弁護士としては依頼者にこちらの薬品でよいですかと聞くべきではあると思います。他のミスに比してこれは内容に関するミスなので、今後はよく確認いただいた方がよいと思います。
③証拠のナンバーが入らないまま甲号証のハンコが押されたままになっている
→形式ミスですね。不注意ですが、訴訟の勝敗に直結するわけではないものと思います。
④当方原告が作成したスクリーンショットの証拠が縦長や横長に印刷され、文字が間延びしている(読めないことはない)
→こちらも③と同様であると思います。
以上のとおり、①～④も訴訟の勝敗に直結するものではないと思われますので、致命的なミスではないと思います。
もっとも、形式面も仕事の完成物として当然確認すべきでありますので、今後は気を付けるように弁護士にお伝えいただいてもよいと思います。
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