お書きの内容だけでは詳しい事情がわからないので,あくまで書かれた事情だけをもとに回答しますが,貴殿が賃貸借契約の名義人である以上,賃貸人との関係では,家賃滞納の支払義務は貴殿が負担することになります。個人信用情報(いわゆるブラックリスト)については,普通は賃貸人が信用情報機関に加盟していることは少ないと思いますが家賃保証会社を利用している場合は家賃保証会社が貸金業者の信用情報機関に加盟しているケースがありますし,家賃保証会社の業界でも(貸金とは別に)家賃滞納の信用情報データベースを持っていますので,それらの信用情報に傷が付く可能性は否定できません。いずれにせよ,元彼に任せておいて支払いがないのであれば,法的には貴殿が支払わざるを得ないでしょう。
また,元彼が生活保護を受けるとのことですが,賃借人の名義変更は貴殿が考えているほど簡単ではありませんので,酷なようですが,元彼を追い出して生活保護の制度を使って別に家を借りてもらう,という方向性も考えるべきでしょう(この種の事案では,そもそも元彼が生活保護申請に動いていないケースも最悪の事態として想定しておく必要があります)。
もし貴殿がご自身の身を守りたいのであれば,もう別れた相手である以上は相手を軽々しく信用してはいけません。最悪の場合,元彼に対して建物明渡を求める訴訟を提起して判決を取り,強制執行で明け渡しを行って貴殿が賃貸借契約を解除,その後に家主へ明け渡す(その間の賃料は負担する覚悟で)ということも考える必要があります。その場合には,元彼に対して損害賠償請求もできますが,おそらくその資力はないでしょう。放置しておけば貴殿の経済的損失が増えるだけですので,貴殿が生活保護の申請などの手続に積極的に関与・情報共有して急がせるか,あるいは弁護士へ依頼して迅速かつ断固たる措置を採る方がよいでしょう。
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