質問① 申立書に嘘が多いですが、家裁は調停履歴を調べないのか
→ 家裁が自ら調べない可能性も踏まえ、今回の調停の当事者として、あなたの方で、締結済みの公正証書を証拠として提出しておくべきでしょう（なお、その後の養育費に関する強制執行の申立てや裁判所の決定等も証拠として提出しておくべきでしょう）。
質問② 私は家裁に出向かなきゃいけないのか
→ 代理人を選任しない以上は、期日に出席の上、当事者の立場で、あなたの認識している事実を調停委員にしっかりと説明すべきかと思います。
質問③ 調停の棄却はできないのか
→ 棄却という言葉をどのような意味で使用されているかが定かではありませんが、調停が申し立てられ、家裁に係属した以上は、調停は進行されて行きます。また、養育費減額調停の場合、話し合いが不調（不成立）となると、審判手続きに移行し、養育費の減額を認めるか否かの審判が裁判所から出されることになります。
質問④ どうやったら、勝てるか
→ 調停で一度取り決めた養育費の金額等の変更が認められるか否かは、以下のような観点から判断することになります。
①従前の合意時からの事情の変更の有無
②その事情の変更が予測できないものと言えるか
③事情変更を考慮しなければ（著しく）公平を害する場合と言えるか。
あなたとしては、以上の要件をみたさないことを主張•立証していくべきでしょう。あなたのご事案では、2024年6月14日 に離婚成立、公正証書の締結という事情があることに鑑みますと、それから１年も経っていない現状では、公正証書締結時に予測できなかった事情の変更があるとは言えず（①②をみたさない）、事情変更を認めなければ、著しく公平を害するとも言えない（③をみたさない）ように思われます。
なお、質問１で、締結済みの公正証書や養育費に関する強制執行の申立て•決定等の証拠をあなたの方から提出しておくべきと述べたのは、上記の①〜③の要件をみたしていないことを主張•立証するためでもあります（裁判所での審理に臨にあたっては、裁判所が自ら積極的に事実か否かを調べないのかという視点ではなく、申立人側の主張に誤りがあるのであれば、あなたの方で証拠に基づき反論して行く•真実を伝えて行くという視点が肝心です）。
この質問の別回答も見る