相手方の書面上で、直接の交渉をストップする等の記載がなければ、相手方に対して時間をおいて書面を送付しても差し支えないと思われます。 内容としては、従前に専門家へ相談する旨連絡を受けたが、その後に当方に連絡がなく、交渉を継続して良いかどうか、といった趣旨で記載されてみてはいかがでしょうか。

書面を出しても問題ないでしょう。こちらから督促しないと何もリアクションがないまま流されてしまう可能性があるかと思われます。 内容としては以前提案した示談内容について検討の結果はどうなったのかを確認されると良いでしょう。また、弁護士に仮に依頼したのであれば、連絡がまだないため依頼した弁護士の名前や連絡先について確認しておく必要もあるかと思われます。

無用のトラブルを避けるため、段階として、まずは相手方の住居と目される場所に書面を送付し、一定期間の返答がないことを踏まえて、実家宛に送るのが一般的ではないかと思われます。 その際、住居に送付したこと、それに対する返答が一定期間なかったこと、したがって止むを得ず実家に書面を送付したこと等も書面の内容に加えて、万全を期すならばそれを示す証拠も添えて、送付することを検討されてみてください。

郵便局では、相手方の住所に郵便が配達されたか否かを確認することができる配送方法が複数存在します（特定記録、配達記録、書留など）。 郵便局の窓口で相談し、コストを踏まえて配送方法を選択されてください。 また、付言しますが、相手方の実家に書面を送付する場合、相手方本人以外の家族や親族等の目に触れる可能性があります。 書面の内容につき、そういった配慮を元に検討されてみてください。 これで回答を終わります。