養育費審判 抗告審について

先日、養育費審判が決定しました。

申立人の私は、審判内容に不服は無く、即時抗告はしない意向ですが、
相手方は即時抗告するだろうという審判内容でした。

審判の審理終結日移行に、新たに相手方が不利になる証拠を得ました。
抗告審に移行した際には相手方にとって、かなり不利になるような証拠です。

私としても、これ以上抗告審に移行してまで、争いたく無いのですが、
即時抗告の期限までに相手方代理人へ、申立人の私が新たな証拠を得た事、抗告審に移行した際には、この新たな証拠についても主張と立証をする意向である事を伝えようと思います。

遠回しに即時抗告するなということです。

一般的に、遠回しに即時抗告するなという内容の連絡をしてもいいのでしょうか?
(相手方にも代理人が就任しています)

資料を相手方へ提示すること自体が法律上禁止されているわけではありませんが,それがどのような結果を生むのかについては,事案が抽象化されている公開の場では予測困難ですので回答が難しいです。
「相手方『にも』代理人が就任しています」ということは,貴殿にも代理人が就いているということでしょうか。もしそうであれば,依頼した代理人弁護士のアドバイスを得た方がよいと思います。