DMで相手を揉め、誹謗中傷で訴えると言われました。訴えられたら罪は成立するか?

ある人とSNSのダイレクトメッセージで、揉め事になりました
まず、向こうの行動に堪忍袋の緒切れて、私が感情的になってしまい、そういう行動が気持ち悪いや、こういうところがあるから友達が出来ないと思ったよとか、この言動は常識がないと思ったなどのダイレクトメッセージを送ってしまいました、向こうはそれに傷ついたから誹謗中傷で訴えると言っています
でも、向こうは自分の行動が悪いということは認めました
私は言いすぎたことを悪いと思い謝りました
これは、訴えられると誹謗中傷罪が成立するのでしょうか

少なくとも日本においては「誹謗中傷罪」というものはなく、刑法上の「名誉毀損罪」や「侮辱罪」は公然性が要件となっているところ、非公開のダイレクトメッセージでは公然性の要件を欠くので、いずれの罪も基本的には成立しません。

ですので、非公開のダイレクトメッセージにおいて誹謗中傷を行ったからといってそれ自体が犯罪になることはないかと存じます。もちろん自殺させるほど追い詰めるような執拗なものであれば、場合によっては自殺教唆等になりうることもありますが、ご記載いただいた内容程度でしたら、公開ツイート等で行わないかぎり犯罪には該当しないかと存じます。

警察に電話したらしくて、明日そのDMを見せに行くと言っているのですが
警察は動くのでしょうか

公然性を欠くので動かない可能性が高いのではないかと思いますが、仮に動いたとしても念のためあなたに事情を聴く程度ではないかと思いますので、もし連絡があった場合は、たとえば「言い過ぎた部分があり反省しており、相手にも謝ったが、非公開のダイレクトメッセージでのやりとりなので、公然性がないことが明らかなので、名誉毀損や侮辱には当たらないと考えているが、相手は何らかの理由で公然性があると言っているのか」と反省の意を示しつつ、なぜ警察が連絡してきたのか尋ねることが考えられます。

相手から、こんなメッセージがきました

警察署、弁護士に相談したら、警察署に行けば訴えることができる、弁護士を付けたら弁護士を通して文書を作成してもらって法的拘束力はあまりないけどプレッシャーを与える
ことができるって言われました、でも警察署に訴えたらあなたが加害者になって10日間拘束されるしあなたに文書を作成するに当たって情報が足りないから大学にも話を通さないといけなくなるし、別にあなたを苦しめたいわけじゃないからどちらの措置も取らないことにしました。今後同じようなことがあった場合や、第三者にこういう状況が知られてるとなった場合、法的措置をとると思います

これは事実なのでしょうか
もし事実であれば、事実だという証拠を相手に見せてもらうものはあるのでしょうか

10日間拘束というのは逮捕後の勾留の期間を指していると思いますが、脅迫や殺害予告であればともかく、ダイレクトメッセージでの誹謗中傷で逮捕勾留されることは通常考えにくいので、少なくとも「警察署に訴えたらあなたが加害者になって10日間拘束される」という部分は嘘の可能性が高く、警察署に相談したのが事実なのであれば警察に犯罪にはならないと言われたのではないかと思います。

なお、仮に嘘であるとすると、たとえば、先方も素直に振り上げた拳を下すのがバツが悪いため、「あなたを苦しめたいわけじゃないから」と言って恩着せがましく事態を収拾しようとしている可能性などが考えられますので、ここはあなたが大人になってこれ以上事実か否かについて追及しないという対応で良いのではないかと思います。