ラインでの支払い催告に応じる必要はあるか?

彼氏と同棲しているのですが、
来月から家賃の支払いをしてほしいとのラインがきました。

↓以下ラインの内容
甲は乙に
2021/02/01日〜2021/03/31の期間、家賃、水道代、電気代として月毎に4万5千円の料金を支払う。
支払いは月の初日、次回支払日は2021/02/01日。
支払いができなければ、乙はその日をもって甲の部屋を退去する。

これに対する返信期限は2021/01/20の21時まで。
返信期限内に返信できなければ、乙は2021/01/31までに退去する。

家の名義は彼ではなく、彼の両親です。
私は支払わなくていいと口頭で言われて了承し共に生活をしています。
こちらは必ず支払わないといけないものなのでしょうか。

必ず支払わなければならないということはありません。
その条件で支払いたくないのであればその旨を伝えるとともに、
今後の生活についてお話し合いをした方がいいと思います。

催告方法がどうかというより、なぜこのような請求を相手方がしてきたのか、
が法的に助言をする上で不可欠です。
なので、請求内容だけでご質問されても回答はできません。

強いて言うならば、一般論として、彼氏の両親の家に、こちらが住み続けられる契約等に基づく権利を主張できる状態であるのか、
が問題となります。
そして、こちらも一般論ですが、賃料等を支払う賃貸借契約に比べて、
無償またはそれに近い対価で住まわせてもらう「使用貸借」という状況では、賃貸借に比べて、比較的追い出されやすいです。

お近くの弁護士事務所にて、彼氏との関係や、このような請求が来るに至った経緯等、詳細にお伝えした上でご相談されてみて下さい。

彼氏の両親が家の名義人かつ貸主で、彼氏と匿名希望さんが借主ということであれば、今までは使用貸借(無償で貸している)状態だったのが賃貸借契約(賃料が発生する)に変わったということだと思います。
今後賃料を支払わないのであれば退居してもらいたい、という相手の意向があるので、支払うか出て行くかの二択だと思います。出て行くのであれば支払う必要はありません。
支払うにしても妥当な額ではないと思うなら話し合ってみられてよいと思います。
トラブルにつながる可能性もあると思いますので、一度お近くの弁護士に相談されることをお勧めします。

支払いたくないと言っても自分には強制力があるといってラインと同様のことを言ってきます。
応じなければ荷物を外に出して追い出すと言われたのですが、出された場合は慰謝料請求可能でしょうか。

「強制力」については、裁判手続きを経ている場合ならばともかく、単にラインで請求しただけで当然に発生するものではないです。

慰謝料請求などというのも、結局は、家にこのまま住み続けられる権利があるのかというのが大前提で問題になるので、
そのあたりも含めてお近くの弁護士事務所にて詳細な事情を伝えてご相談されてみて下さい。

追記

なお、逆を言えば、裁判手続きを経られた場合、強制的に追い出された上に、
立ち退くまでの期間についての損害賠償請求をされて、金銭をこちらが支払わないといけないことになる可能性もあります。

そのようなご事情であれば、退去か費用を支払うしかなさそうですね。
支払を拒否して居座ったとしても、同居人ともめたままでは居づらいでしょうから。
実力行使をされた場合は、その態様次第で損害賠償請求をする余地はありますが、
どのくらいの可能性か、いくらぐらい見込めるかはケースバイケースです。