浮気による慰謝料請求について

婚約者の彼が既婚者の女性と浮気していました。
これは2回目で、1回目に肉体関係もあり誓約書を作成しています。
ただこれは合同役場に行ったところ印鑑が押してあれば、正式でも自分で作成した場合も裁判所に持っていけば効果はほとんど同じと言われ、自分で作成したものです。
そして、婚約者である彼との証明は
指輪や両親への挨拶はなく、賃貸の契約のときの
「婚約者」という記入のみになっています。
既婚者の女性から彼への慰謝料請求があったとしても構いません。
裁判所に申請可能か、慰謝料をとることは可能なのか教えてください。

誓約書に慰謝料の金額や何に対する慰謝料であるかということが具体的に書いてあれば、誓約書を根拠として相手方に慰謝料請求することができます。

裁判所への申請とは、訴訟等の法的手続をすることでしょうか。
誓約書が法的に有効であれば、誓約書を証拠として、訴状と一緒に裁判所に提出し、手続を進めることになります。

強制執行が必要となる場合もありますので、相手方の勤め先や預金口座等を調べましょう。