公正証書はないですが未払いの養育費の請求についてどうすればいいでしょうか?

元旦那から毎月養育費をもらっていたのですが、先月からありません。
連絡をしてもつながらずまもなく1週間がたちます。
公正証書に残す事も拒否されています。
生きているかもわからないですが会社に電話して彼につないでもらう事は大丈夫なのでしょうか?
母子手当ももらえてないので弁護士に頼めない状況です。

安否確認という名目で会社に連絡するのは問題ないでしょう。
ただ、所在がわからない、分かるが状況が改善しない場合は、調停を起こすか民事訴訟で養育費請求をするしか有りません。

金銭面について、母子手当がもらえていない、ということですが、具体的な状況は分かりませんが、まずは自治体の援助が受けられないかをお調べください。

また、最悪、生活保護を受けることも検討してみて下さい。
生活保護を受ければ住居費や医療費は福祉事務所から出してもらえますし、タダで法テラスを使うこともできます。

元旦那の住所はわかっています。
私も元旦那も実家に住んでいます。
私の収入では母子手当は問題ないそうですが世帯主が父で今までその収入が審査で通らなかったみたいです。
今月、再審査する予定です。

公正証書作成を拒否されているのであれば、調停を申し立てて、最終的に強制執行できる状態の書類(調停調書や審判書)を入手することを検討すべきでしょう。
時間はかかりますが、相手から支払がないのであれば、それが一番確実です。