未婚、彼と浮気相手に慰謝料請求できますか?

現在妊娠9ヶ月です。

彼は現在大学2年生です。
妊娠発覚後は口約束ですが卒業後に籍を入れる話をしていましたが、彼の両親には大学を辞めさせられるかもしれないから言わないでほしいと言われています。彼の浮気がきっかけで関係が破綻し認知と養育費は払うと言っていました。色々あって連絡つかない日が続いたのですが、産休に入り産後動けないので出生届出すついでに認知届もお願いしたいと連絡したところお金は払うから認知したくないと言い出し既読無視されています。このまま連絡取れなければ彼の実家に行こうと思います。

浮気相手は彼に彼女がいるのを知ってて誘ったらしいです。6/4に彼と会った時に首にキスマーク付けられていてそれで浮気がわかり、彼は開き直って浮気を認め色々話してくれました。6/4の時点で2~3回以上は肉体関係をもったそうです。4月の浮気未遂(別の人)の時も関係終わったと言いながらしばらく連絡取り続けていたことも知りました。

浮気発覚後しばらくは仲良くできていたので隙をみて証拠を集めようとしたのですが、最近になってSNS監視してるでしょと言いがかりをつけられて連絡取れなくなり会うのも難しくなってしまいました。彼のSNSはだいぶ前にフォロー外されて鍵を付けられているので見てないのですが、怪しく思い今日見たらたまたま鍵を外していて内容を見ることができ、浮気相手とまだ仲良く会っているようでした。

彼の証言だけで録音もできてなく、籍を入れるのも口約束だけで私の両親と職場に伝えただけです。証拠が無く婚約も証明しにくいですが請求自体はできるのでしょうか。最悪慰謝料取れなくても2人の親や友達に知って欲しいです。
あと内容証明送るにしても浮気相手(彼の元同級生)のフルネームと住所が分からないのですが彼の元同級生などのSNSを通じて聞き回ったりするのは後から不利になったりしますか?

連絡取れまして認知届は20歳になって分籍してからじゃだめかと聞かれています。親(親以上に祖父母あたりが厳しいらしい)にどうしても知られたくないようです。

まずは、認知ですね。
その後、養育費ですね。
婚約不履行に基づき慰謝料も請求しましょう。
親に隠せる問題ではないです。
浮気相手は、まだ先ですね。
彼との関係をはっきりさせてからにしましょう。