精神的苦痛により慰謝料請求はできるのか知りたい

6年間店長として勤めていた飲食店が閉店のため退職しました。

○給与明細を催促しないとくれない、金額は合っているが内容が記載漏れなど多数あり
○源泉徴収票の未発行の年度あり
○給与の計算間違い
○給与の入金がない、言えば入金する
○市民税の納付をしていなかった
○6年間雇用保険料を支払っていたが未加入だった
上記のことが日常で社長に言っても直らず言うこともかなりストレスとなっていました。

退職時の書類も不備があり、連絡すると突然
『閉店はあなたのせいだから250万払え払わないなら内容証明送って調停する』
『あなたに対してパワハラで訴えてるスタッフが2人いる、名前は言えない慰謝料請求する』
と連絡がありました。

閉店は社長決定です、パワハラは信頼できるスタッフに確認してもらいましたが該当する人がいなかったちめ脅しではないかと考えています。

突然こんなことになり病院で適応障害と診断されてしまいました

雇用関係上のあなたの損失を整理するのがひと仕事ですね。
雇用保険料未納府についてはハローワークに相談するといいでしょう。
相手の請求は争うことになるでしょう。
整理していけばストレスは減じてくるでしょう。