児童売春をしてしまいました

児童売春について質問させてください
昨年10月頃、出会い系サイトにて児童買春をしました。買春をした日に、その女性から、「さっき親に見つかって親が明日被害届だすらしい」と言ってきたため、怖くなりメッセージを全て削除してしまいました。(当然復元されるんでしょうが、そのときは怖くて衝動的に消してしまいました)
そこで質問なのですが、
①被害届が出されると警察は捜査を始めると思いますが、捜査開始後だいたい何ヶ月くらいで逮捕しに来るのでしょうか?
②初犯であり、余罪もありませんが、逮捕されると報道されてしまうのでしょうか?(〇〇地方の中のトップの国立大学の21歳の学生です)
③今のうちに自首すべきですか?

①被害届が出されると警察は捜査を始めると思いますが、捜査開始後だいたい何ヶ月くらいで逮捕しに来るのでしょうか?
これは決まって無くて、公訴時効までであれば、数日の場合もあるし、4年目5年目ということもあります。新聞記事検索で、逮捕日と犯行日を調べて見ればわかるでしょう

②初犯であり、余罪もありませんが、逮捕されると報道されてしまうのでしょうか?(〇〇地方の中のトップの国立大学の21歳の学生です)
→ 報道されるかは各報道機関の判断です。他に大ニュースがあると報道されないこともあります。

③今のうちに自首すべきですか?
→逮捕報道はもっとも影響が大きいので、逮捕回避のためには、自首も選択肢です。福祉犯の自首の経験がある弁護士に相談して、ご自分で決めて下さい。