慰謝料を迅速に支払わせる方法を知りたいです

2022年6月に元旦那の複数回の浮気で離婚して現在息子と2人です。6月以降、弁護士を通して慰謝料を300万請求しているのですが、現在も支払いの目処がたたず、精神的に苦痛です。
向こうの親も支払う意向がなく、弁護士に催促をお願いしても全く進みません。もうどうしたら良いかわからないです。

裁判外の交渉であれば、相手がその状態だと継続してもあまり効果はないでしょう。裁判で勝訴した上で支払わないのであれば、強制執行の手続きを進める必要があるかと思われます。

相手方の不誠実な対応について、何とも腹立たしい限りです。

ただ、全く進まないのであれば待つだけ無駄ですので、早急に訴訟提起を行いましょう。
もっとも、金銭的な問題もありますので(相手方に本当にお金がない場合もあります)、その場合請求認容(勝訴判決)を取ったとしても相手方にお金が全くなければ事実上支払いを受けられません。
交渉の段階でどの程度払う意思があるか確認して(一般論でいえば、交渉段階の方が高額の金額が出てくる可能性がありえます)、交渉でまとめるか訴訟に移行するか決められた方が良いかと思われます。

あまり長引くとお気持ちが大変かと思われます。
ですので、早めにご依頼されている先生にいずれか方向性を決めたいとお伝えして、じっくりと方向性を協議して下しさい。
その上で、決められることが良いかと思われます。