誹謗中傷の費用について

誹謗中傷をされたのですが
裁判を起こし、弁護士さんにお願いしたいのですが多くの例は
加害者側の持ち出しになることが多いでしょうか?

>加害者側の持ち出しになることが多いでしょうか?

誹謗中傷の内容が分かりませんが、相手にいくら請求しようと考えているのでしょうか?

裁判での判決が3.40万円となっていますが、
それを上回る費用になりますか?

詳細が分かりませんので何とも言えませんが、仮に3.40万円を全額回収することができれば、費用が上回るという事態は避けられるかもしれません。

慰謝料30万円~40万円を全額回収できれば、それを弁護士費用が上回ることは少ないと思います。
ただし、全額回収するまでには、裁判で全部勝訴する又は勝訴的和解をすることに加え、相手方が任意で支払ってくるか又は相手方の財産(給料や預貯金)を差し押さえる必要があるため、それなりのハードルはあります。
一般に、弁護士に着手金として支払った金額は、相手方から回収できなかった場合でも、返還されません。