警察の取り調べ後の身元引受けについて

他人のお金を数千円取ってしまい、証拠を警察に提出された場合、家族や仕事先に知られずに穏便に解決することは出来ますか?成人ですが、親はどうしても連れてこなければ釈放されませんか?

被害金額からすると逮捕される可能性は低いと思います。仮に逮捕された場合も、弁護士を通じて被害者と示談をするなど、家族にできる限り知られずに進めることはできます。
ご不安であれば弁護士に相談することをお勧めします。

弁護士への相談は、警察の取調べが始まった後でも間に合いますか?

ケースバイケースなので断定はできませんが、被害額からすると被害者が警察に通報しない可能性もありますので、警察から呼び出しが来たときに相談するという形でもいいと思います。