バイト先の人のお財布からお金を盗んでしまいました。

成人済の大学生です。先日、誰も見ていないのをいいことにバイト先の人のお財布からお金を盗んでしまいました。そしてそれがバレて、バイトを辞めることとなりました。バイト先(店長)としては警察に突きだすつもりはないと言われましたが、被害者の方が相当怒っており、大学名を聞かれて警察に突きだすと言われました。
自分が本当に悪いことをしたと反省しています。しかし、前科がつくことは本当に避けたいです。警察に相談されていたとして、これからどうするのが最善なのでしょうか。初めて窃盗を行いました。
また、被害者の方が警察に相談してから約何日後に警察の方がどのようにこちらに対応して何が起こるのでしょうか。

相手に被害額の返金は既に行っています。返金と謝罪を同時に行った際に大学名と名前で警察に突きだすつもりだと言われました。また、謝罪後に帰宅してからLINEで謝罪文を送りましたが、既読のみで返信はありません。いつ被害届を提出しているのかは知ることができません。

何が最善かを回答することはできませんが、示談交渉を行い、被害者の宥恕を得ることは考えられます。
 被害者の方が警察に被害を届け出た後、警察が捜査(取調べなど)を行うことが考えられます。具体的にいつ何をするかは、警察の判断になりますので、何とも言い難いです。

ご回答いただきありがとうございます。示談交渉を行うとすると、弁護士を通して行った方がいいのでしょうか。その場合、相手に払う費用と弁護士に払う費用は大体どのくらい必要になるのでしょうか。
また、警察が自分にどのようにコンタクトを取るのかがとても気になっています。書面で文書が送られてくるのか、家に電話が来るのか、親の携帯に電話が来るのか、自分の携帯に電話が来るのか、家に直接足を運ぶのか、気になります。
また、大学名と名前で通報するということは校則によっては大学を退学になってしまう可能性もあるのでしょうか。