残業代についての質問です。

私の主人の仕事の事で相談です。
今、運送業の正社員として
7月から働き始めました。
初めの4ヶ月は社長の知り合いの所で
出向扱いで勤務しておりました。
その時は労働時間も問題ありませんでした。
先月から、知り合いの所ではなく
本来である仕事(運送)に戻りました。
月から金は、夜中の4時30分スタートの夕方16時まで
働いています。
早い時であれば1時スタートの夕方16時まで
働いています。
この生活が約1ヶ月続いています。
土曜日も夜中から行き朝に帰ってきます。
日曜日だけ休みです。
出向していた時は、きっちり終わっていたので
毎月30万ありました。
ただ、11月から労働時間が長くなっているので
その分給料が上がればいいなと期待していたところ、1万しか上がっていませんでした。
長時間勤務していてブラックだと思います。
一応正社員で働いていますが
雇用契約書も交わしておりません。
他の社員さんも皆さん交わしていません。
監査に入られると困るから
時間も嘘の時間を書かされているみたいです。
タイムカードはなく、会社のLINEで
皆さん開始と終わりの時間を報告しています。
長い人で夜中の0時から夜の23時まで働いています。
この場合でも残業代は請求できるのでしょうか。

また、最近コロナにかかり
社長にいうと激怒され
初めはコロナでもでてこいと高熱であることを
伝えると熱が下がったらでてこいと言われています。

この場合でも残業代は請求できるのでしょうか。
→実労働時間についての証拠があるのでしたら、請求できる可能性はあります。
この場では一般論しかお答えできませんのでお近くの法律事務所でご相談されることをお勧めします。

残業代未払いですね。
タイムカードとか、業務日報、運転手ならデジタコなどを使って証明して争うことになるでしょう。

まず、雇用契約書交わしてないのは
問題ないのでしょうか?

有給も半年で使えるのではなく
社長の判断で1年経たないと有給は発生しないみたいです。