支払い済みの家の外構工事を進めてくれません。証拠もあるが、この場合訴えることはできますか?

2020年5月下旬に新築を建てました。
早くに入居したかったので外構工事は入居後に行うことになりました。
内容は事前に決め住宅ローンに含めて支払い済みです。

入居後の外構工事は失敗なども重なり、なんとか全て去年の11月頃?に終わりました。
しかし北側犬走りのコンクリートに2〜3箇所、水が溜まる大きな場所が出来てしまいました。
打ち合わせの際に私は「水が溜まって苔が生えるのが嫌なので水が貯まるようであれば砂利にしても良い」
と伝えていて、業者は「コンクリートでも勾配をつけて水溜りはできないようにする」という事だったのですが
結果、水溜りが出来て実際に苔が生えてコンクリートがとても汚くなっています。

電話でやり直しをお願いしても言い訳ばかりで素直に行ってくれませんでしたが、なんとか12月に工事のやり直しを認めてもらいました。しかし、工事は一向に進みません。

●1月中には工事は始めると約束
→いっさい連絡なし、外注の外構業者のスケジュールが合わないと言われる

●2月中には終えると約束
→いっさい連絡なし、外注の外構業者のスケジュールが合わないと言われる

●4月中には終えるようにすると約束
いつまで経っても終わらないので
この約束をした際、外構業者のスケジュールが合わない場合は他の外構業者に依頼するなどして
とにかく工事を終わらせてくれと伝え、責任取ると言わせました。
→現在までいっさい連絡なし

ここまでのやりとりは、電話で全て録音してあり証拠として残しています。

裁判も考えていますが、その前に内容を書類にまとめて内容証明郵便で送ろうと思います。
この場合、催告書なのでしょうか?督促状なのでしょうか。色々調べても同じようなケースでの例文も探せず無知なので良い書き方がわかりません。。。

何かアドバイス等ございましたら よろしくお願いします。

催告書でいいでしょう。
債務不履行責任ですね。
修補請求、損害賠償請求が可能です。
従前の経過も記載して、修補の請求を求めて、履行しないときは
損害を請求すると言うような内容でしょう。
契約書もチェックする必要はありますね。