大至急回答よろしくお願いします。

5年前、祖父の土地を第三者に貸し出すことを祖父から口頭で任された母が、第三者と賃貸契約を結びました。 
法律上契約は成立していますか?

回答よろしくお願いします。

母は、祖父の名前で契約したか、代理で契約したかでしょう。
それらの場合は、契約は成立します。
委任は、口頭でも成立しますからね。

母は祖父の名前で契約したのですが、どうなんでしょうか?

祖父が同意してるなら問題はないですね。

もし、裁判で契約が成立したかどうかを争う場合、この事を知っている叔母の証言は有効でしょうか?

有効と思います。
以上