内容証明を送付後、連絡がない場合の対応

配偶者の不倫相手に内容証明を送るため準備をしています。
内容証明到着後10日以内に慰謝料の支払いと記載の連絡先に連絡をするようにということと、期日内に連絡がない場合は法的手続きを行いますといれようと思っています。

まずは連絡待ちになるかと思いますが、もし期日内に連絡がない場合、すぐに法的手続きを行って大丈夫でしょうか。
再度内容証明を送ったり、手続きをしますと伝えた方がいいのか迷っています。

特に法的な決まりはありません。再度送付して裁判がいの解決を図るでも良いですし、裁判手続きへ移行するでも良いでしょう。

裁判手続きを行う際には相手にわざわざ伝える必要はありません。

期日内に連絡がなければ、そのまま法的手続に進むこと自体は問題ありません。再度内容証明を送らなければならないわけではありません。あえて再通知を入れるかは、今までの経緯や相手の反応、早期解決の余地をどこまで残したいかによると思います。
文面としては、到着後10日以内に支払又は連絡を求め、応答がなければ法的手続をとる旨を記載するということで概ね問題ないと思われます。内容証明の出し方や次の一手に迷いがある場合は、弁護士に個別に相談することも検討されるとよいでしょう。

そのまま法的手続きに進んでも大丈夫とのこと、ありがとうございます。
どう解決に進めていきたいかを考えて準備を行っておこうと思います。