新幹線乗り越し後の運賃支払い方法と法的影響について

私は4日前、京都から新幹線で東京に行きました。そのまま京葉線で舞浜駅に向かったのですが、乗り越した分の運賃を支払わずに改札を出てしまいました。新幹線のチケットは京都市内から東京都区内までの乗車券・新幹線特急券が一枚になったものです。改札は引っ掛かることなく出れました。
改札を出た時には乗り越し乗車をしてしまった事には気づかず、今日家に帰り切符を見つけて乗り越し乗車をしてしまった事に気づきました。
この場合、運賃をどこの鉄道会社に支払えば良いのでしょうか。もう手遅れで無賃乗車という事で警察に捕まりますか?
京都に住んでいるのでなかなか関東には行けません。小切手などで対応できるものなのでしょうか。

特定の都区市内駅を発着する場合の特例が適用される東京23区内の駅は、京葉線であれば葛西臨海公園駅までですから、舞浜駅は東京23区内の駅ではなく特定の都区市内駅を発着する場合の特例が適用されないでしょう。なぜ改札に引っ掛かることなく出られたのかという理由は措くとしても、特例適用外のため、本来であれば、葛西臨海公園駅~舞浜駅または東京駅~舞浜駅の運賃を支払う必要があるでしょう(なお、不正乗車の場合は、運賃に数倍に相当する金額を支払う必要があります。)。
そして、当該区間はJR東日本の管轄ですから、連絡をするべきはJR東日本だと考えます。

もっとも、今回の件は、悪質性が高いキセルなどの事案ではなく、逮捕されるような事案ではないでしょう。
どの区間の運賃を払う必要があるのか、支払う必要がある場合の送金方法などについては、JR東日本に問い合わせを行い、対応を確認されるのがよいでしょう。