Xの誹謗中傷について

Xの誹謗中傷が原因で本人が亡くなってしまった場合、その家族が開示請求を行うことは出来るのでしょうか?
そしてそこで得られた加害者の個人情報を基に裁判を起こすことはできるのでしょうか?
もし、裁判を起こしそこで有罪判決等が下された場合、どんな刑罰になるのか教えていただきたいです。

「その家族」と言われますが、すべての家族を含むわけではありません。本件に即していえば、Xさんの法定相続人となります。誹謗中傷ということですから、開示請求は認められる可能性が高いです。訴訟を起こすことができるのは民事の損害賠償請求です。
誹謗中傷に対して刑罰を望むのであれば、名誉毀損や侮辱で告訴ということになりますが、行為から6か月経過していますと告訴ができなくなりますので、ご注意ください。