出会い系サイトでの嫌がらせメールと脅迫への対処法は?

出会い系のサイトからメールをしたところ、何回も同じようなメールをしてきたのに会う約束まで行かず、会うつもりがない冷やかしで迷惑のため訴えると言われました。匿名のメールなので前の人が同じ人だということが分からず、同じ人に何度もメールしたつもりはありません。
その後もメールで死んだほうがいいと言われたり、馬鹿と言われたりし、最終的には家に今から行くと言われました。
このようなサイトを使ったのが悪いのですが、このような状況はどうしたらいいですか?

また、このような状況で訴えられることってありますか?
対応しなくていい場合は連絡が来ても無視して大丈夫ですか?

対応をせずとも良いかと思われます。弁護士や裁判所等からもし書面等が届いたら弁護士に個別に相談に行かれると良いかと思われます。