任意保険未加入で事故を起こしてしまいました

ショッピングモール駐車場での追突事故を起こしてしまいました。
契約更新のメールを見逃しており、任意保険未加入の状態です。完全なる私の落ち度なのですが..どうかお力添えをいただけますと幸いです。

その日の駐車場は大変混んでおり、一時停止のところで渋滞している状況でした。
前方の車が一時停止で止まったときに前方不注意で追突してしまいました。(その時アクセルは踏んでおらず、ブレーキを離して進んでいたので、警察の方からは5〜10kmだろうとのことでした。)
事故処理では物損事故での処理となっていたので、お車の修理費用の見積もりをいただいてお支払いするつもりてました。
しかし、被害者の方が首が痛くて吐き気がするとおっしゃいまして..
自分なりに調べて自賠責保険で加害者請求の手続きをさせていただきました。
しかし、ずっとその方の口調や態度が過剰なのが気になっておりまして..
ぶつけてしまいすぐ謝罪し事故処理をしてもらい、車の修理は見積もりでの金額を全額自己負担する旨もお伝えし、治療費も自賠責保険を利用して.. 支払い能力がないからといって逃げることはしたくなかったので、精一杯真摯に対応したつもりだったのですが...
通院は被害者の方が通いたいだけ通うという形になるとのことで、任意保険未加入のため第三者の介入がないので過剰請求され限度額の120万では収まりきれず、私もお支払いができなくなるのではないかと不安で押しつぶされそうな毎日です。
もちろん任意保険未加入なことは私の落ち度でしか無いのでお相手を責めることもできませんが...
今回のような場合通院はどのくらいされるのか、自賠責保険で賄えるのか、弁護士さんに介入していただくのがよいのか、自分でできる手立てがあるか...教えていただきたいです...。
いろいろ調べてみても答えがでず、こちらにたどりつきました。よろしくお願いいたします。

軽度なむちうち症状なので、一般的には、3か月、長くて6か月程度でしょう。
自賠責保険で、十分にまかなえる金額だと思います。
自賠責調査事務所も損害を調査するので、過剰請求は防止できるでしょう。

物損額にもよりますが、修理費10万円以下であれば、怪我をしないという主張もありうるかと思います。それ以上の修理費だと怪我をしないという主張は難しく、裁判でも最大6ヶ月程度の治療が認められる傾向にあります。
相手方が自賠責保険基準とその枠内での示談に応じればよいですが、もし弁護士費用特約などで弁護士に依頼した場合は、裁判基準(自賠基準より高い)での請求をしてくるかと思います。例えば、6ヶ月相手方が治療した場合の慰謝料は自賠基準だと774,000円ですが、裁判基準だと890,000円です。
また、仮に自賠基準であっても、6ヶ月通院すると治療費が60万円程度、慰謝料が774,000円となり、120万円の枠を超えます。そこから先は質問者様の負担です。

このように、いくらになるかは相手方の治療期間や弁護士費用特約の有無などに大きく影響されます。
どこかのタイミングで弁護士に相談されることと、今後は任意保険に入ることを強くおすすめします。

お返事が遅くなってしまい申し訳ありません。内藤様、櫻井様
ご丁寧にご回答頂きありがとうございます。
不安な毎日ではありますが、
お相手の方と話し合いが出来ない場合は弁護士の方に相談して間に入っていただこうと思います。
任意保険にはすぐ手続きをし翌日から加入しました。今後はしっかり確認して不手際がないよう努めたいと思います。