賃貸の更新料と家賃請求に関する質問です。払う義務はあるのでしょうか

長文で申し訳ございません。どうかご意見お願い致します。
大学4回生の者です。今契約している賃貸物件の契約期限が3月中旬まで、賃貸契約書には賃貸契約解除の予告期限が2ヶ月という旨の内容が記されていました。その契約書通りに2ヶ月前までに解約しようと先日、管理会社に解約の仕方を教えて頂くため、契約期限の2ヶ月前まで連絡しました。そこで対応して頂いた管理会社のコールセンターの方から賃貸の解約申請は1ヶ月前までで大丈夫と言われた為、契約書では2ヶ月前までと書いてあるが1ヶ月前までで良いのかと言う旨を再度確認しましたが、変わらず1ヶ月前まで大丈夫だと伝えられました。その時はまだ引越しの日程など定かではなかった為、1ヶ月前までならとその時解約申請しませんでした。ですが、本日管理会社から連絡があり、契約解除期限は2ヶ月前までだから家賃と更新料合わせて十万円以上を請求するとのことでした。この時私は先日御社の担当者から契約解除の申込は1ヶ月前で大丈夫と言われたと伝えましたが、確認して折り返すと言われたまま連絡がありません。十万円という金額は学生にはあまりにも大金すぎるのでできれば払いたくないのですが、このような場合私は十万円を払わならればならないのでしょうか。

解約は有効に成立してます。
当初の会話は有効です。
更新料と一か月分の家賃は、支払う必要はないので、主張し、争って下さい。

「そこで対応して頂いた管理会社のコールセンターの方から賃貸の解約申請は1ヶ月前までで大丈夫と言われた為、契約書では2ヶ月前までと書いてあるが1ヶ月前までで良いのかと言う旨を再度確認しましたが、変わらず1ヶ月前まで大丈夫だと伝えられました。」

←このやり取りを録音していれば別ですが、録音していないのであれば、口頭でのやり取りは、「そんなことは言っていません」と否定されてしまえば終わりです。その場合、契約書の規定が物を言うことになります。