水漏れによる被害に関する費用負担の証拠確保について

昨日上階から水漏れが発生し、寝室のマットレス、押し入れにいれていた服や家財が汚水で汚れてしまった上に寝室や天井の広範囲が水漏れの被害に合いました。
管理会社が依頼した業者からはトイレのつまりが原因と言われ、引っ越すにしろそのまま住むにしろ修繕費が必要な状態です。
上階の方とも話はしており、引越しに必要な費用、修繕費、家財の補填など費用の負担は口頭でお約束して頂いている状態なのですが、改めて何か書面を作成して署名を頂く事や録音などで証拠を残しておけば、いざ払わないと言ったときに効力は発揮するでしょうか?

そう思います。
後からそういうことはしばしばあります。
金額と支払い時期を特定して書面にしておく方がよいでしょう。

ただ、引っ越し費用などは強制できるものでは無いでしょうし、補修費用は家主が受け取るものかとは思いますが。