派遣先会社による業務不履行による損害賠償請求の可否について

派遣先会社の派遣契約上の指揮命令者が業務を果たしておらず、元請のプロジェクトマネージャーの実質指揮命令を受けてしまいました。
派遣元(私の所属会社)も再三に渡って、改善を求めてくれていましたし、私も現場レベルでの改善をすべく派遣先の指揮命令者に改善するように求めていましたが、改善されませんでした。
元請会社との実質的に直接の業務のやりとりをするうちに、このままではいけないという自責の念や仕事のやりにくさがたたりうつ状態(5月26日診断)に陥りました。
私の所属会社は当面の休養を認めてくれましたが、次の派遣先が7月から決まっており、それまでに就業出来るか、見通しもありません。
所属会社も元請会社も可能な限りの改善努力はしてくださいましたし、手当もしてくれています。
派遣先会社に対しての憤りがあり、うつ状態に陥った代償を払って頂きたいと考えています。
派遣先への賠償請求は可能ですか。
派遣元(私の雇用主)には迷惑をかけたくありません。
尚、私が派遣先(指揮命令者)に改善を求めた証拠(メール等)はプリントしてあり、手元にあります。

法律的には、相談者、派遣元、派遣先という3者がいます。

職場環境を整える義務は派遣元にありますので、相談者としては、派遣元に請求をしたり労災の申請を行うことになります。
その上で、派遣元から派遣先に対して、派遣先が不適切な行為を行ったために上記のような請求を受けたとして損害賠償請求を行うことになります。
この流れが原則になります。

実質的な雇用者が派遣先であるとして、派遣先に賠償請求を行う余地もありますが、上記の原則から外れるため認められない可能性が高くなります。