保険会社の介入を加害者が拒む場合、被害者はどのように早期解決の対処をすべきでしょか?

今日の14時頃、息子(11)が友達も遊んで居る時に自転車で道路を横断しようと出た所、進行方向左側からの車と衝突してしまいました。こちらは、すぐ実況見聞の後、病院を受診し診断書出してもらいました。明日、警察へ持っていきます。相手にもその旨、連絡した所、保険会社に事故の連絡は入れておらず、保険料が上がるので病院代だけ支払う主旨を言ってきました。

相手に、慰謝料も含めて損害賠償の通知を行いましょう。
相手としては、慰謝料を支払うよりも、保険料が上がってでも保険を使った方がメリットがあると理解すると思うので、保険会社に連絡するかと思います。
なお、個人で請求を行っても真剣に考えるとは思えないので、できれば弁護士から通知を送った方がいいと思われます。
なお、請求金額等は、事故直後なのでわかりかねます。

加害者が任意保険会社の介入を拒む場合、任意保険会社は示談代行ができません。したがって、任意保険会社から賠償金を払ってもらうことはできないです。
このような場合には、自賠責保険に被害者請求の手続を採ることで、自賠責保険から賠償金を払ってもらうことができます。具体的には、警察署で交通事故証明書を取り付け、それに記載されている加害者の自賠責保険会社に連絡を取って被害者請求の手続を進めていきます。