向こう都合で契約日が遅れた場合の家賃の日割について

ひとり暮らしをするために先月の7/30(土)に内見に行き物件を決めました。
そこで、8/13が家賃発生予定日ということで初期費用の見積もりをもらいました。
審査が終わり契約を行うにあたって事前に初期費用を事前に入金して欲しいと言われたのですが、その時13日は管理会社と仲介会社が盆休みになるから契約は1週間後の20日になると言われました。
しかし、初期費用の金額は13日からの日割で計算されていました。
仲介会社に連絡したところオーナーが気むずかしい?(ニュアンスの記憶が曖昧です。)方で…と減額は厳しいと言われてしまいました。
初期費用の入金期限も電話があった次の日の午後までとかなり早く既に入金してしまったのですが、向こう都合で契約が進まなかった期間分の日割家賃は請求可能なのでしょうか?

状況が十分に理解できていないため別の帰結があるかもしれませんが、家賃は鍵の引渡し日以降の分について発生するのが原則と考えられます。
ですので、もし鍵の引渡しが8/20になるのであれば、8/13-8/19の期間分の賃料は支払う必要がないように思われます。