商標権の侵害について

個人で小さなお店をしているのですが、先日警告書が届き、商標登録されているものに酷似しているということでメニュー名の使用中止および賠償金を同時に請求するという内容が書かれていました。登録日を見ると、私が先に使用はしていましたが私は商標登録していないので、こちらが悪いと思いビックリして早急に使用中止の手配をしました。
書面を送って来られた法律事務所にも電話をしてその旨を担当弁護士さんにお伝えしましたが、賠償金が高額すぎて支払うことができません。まだお店も始めたところで免税を受けている状態でこれから踏ん張らないとというくらいです、、、支払能力がかなり低いため何とかならないかもお願いをしてみました。弁護士さん曰く、弁護士が動いているのでゼロは難しいですが、、、とりあえず返答をお待ち下さいとのことでした。
ネットで調べると、先に警告で使用中止を求めてから…という感じで段階を追ってのものが多く感じたのですが、同時に賠償金を請求されることもあるんでしょうか。
またどのように対処すればいいのか困っています。

先使用権があるかどうかという問題と損害額の問題が
ありますね。
先使用権については、周知性の問題。
損害については、本当に損害が発生したのか、という
問題ですね。
お近くの弁護士に相談されてはいかがでしょうか。

まだ立ち上げたばかりで免税事業者ということですから、相手方も損害賠償については「少しでもとれればラッキー」くらいの感覚かもしれません。
いずれにせよ、先方の行ってくる金額をそのまま払うのではなく、損害額について検討して、反論するべきところは反論する方がよいでしょう。
そもそも、本当に商標権侵害があったのかも含め、一お近くの弁護士に相談されてはいかがでしょうか。