ペット譲渡トラブル!

ペット譲渡サイトで犬を譲渡してもらいましたが、譲渡契約証に私のミスで記入漏れがあり返還要求されています。 なお、譲渡署名はお互いにしてあります。同意事項にチェックの入れ忘れです。手渡しでお迎えに相手のお宅にいきました

経緯はサイトに投稿されご連絡したところ、先住犬との相性の悪さや、家庭の事情でその日の数時間後に迎えにいきました。譲渡3日目にして寂しいから返してほしい。もしくは訓練費を払うからマナーがはいるまで預かってほしいのやりとりがあり、それに対してもうこちらも家族として迎えているので拒否 
そのあと、記入漏れがあるため一方的に返還と連絡です。  

こちらとしては、保健所の届出なども狂犬の注射なども済ましてあります。なお元オーナーはしていません。 

もう家族の一員なので手放しする気がないのですがどうしたらいいのでしょうか?

譲渡契約証の内容にもよりますが、一般的には、譲渡契約は成立しており、
無効や取り消される事情はないように思います。
あなたが返したくないなら、返さなくてもいいでしょう。
返してもいいなら、これまでにかかった費用と引き換えになります。

相手に譲渡が完了していることを法的にもわかってもらうにはどうしたらいいのでしょうか? 
家に取りに行く!契約にチェックがないから契約不履行でまだ私の犬(相手)だ。物損盗難で被害届け出すとまで言われています

軽微な不履行のため、解除はできません。
警察も取り上げることはありません。
終わります。