恋人の元交際相手へ、認知していない子どもの養育費を支払っています

私は30代の女性です。現在交際している恋人の、元交際相手について伺いたいことがあります。
私の彼は私と交際する前に、子どもがいるシングルマザーの方と交際していたそうです。
交際を続けているうちに、彼との子の妊娠が発覚した為、彼が結婚を申し入れたところ
断られたうえ、お腹の子を父親だと認知しないでほしいと言われたらしく、そのまま破局することになったそうです。
その後元交際相手は再びシングルマザーとして2人目を出産、2人目は父親の居ない子となっているようですが
なぜ認知しないでほしいのか、結婚を断った理由については教えてくれなかったそうです。
ですが、元交際相手と別れてから数年経ち、私と交際している現在もなお
毎月元交際相手に対して2人目の子どもの養育費として毎月数万円振り込んでいるそうです。

以下質問です。
①認知していない子どもに対して養育費の支払い義務はあるのでしょうか。
②①で養育費の支払い義務がなく、元交際相手に支払いを辞めると申し入れた際に、
やっぱり認知してほしいと言われた場合、こちらとしてはDNA鑑定を行いたいのですが(理由は彼と元交際相手の交際中、元交際相手は何度も浮気をしており、正直本当に彼の子かどうか正確ではない為です)
仮に元交際相手はDNA鑑定を拒否した場合、彼に父親と認知させることは可能でしょうか。

1,法的にはないです。
自分の子と思っているので、事実上負担してきたのでしょう。
2,DNA鑑定必須でしょう。
相手が拒否すれば、父子関係を認めることはできないでしょう。

①認知していない子どもに対して養育費の支払い義務はあるのでしょうか。

ないと思います。

②仮に元交際相手はDNA鑑定を拒否した場合、彼に父親と認知させることは可能でしょうか。

拒否するのであれば、認知するかどうかよく検討されたほうがよいと思います。
彼の子ではない可能性もありますので。