内縁の夫が死亡した時の前妻息子への連絡義務について

70代の母が30年近く一緒にいる内縁の夫が病気で先が短い見込みです。前妻との息子がいるため亡くなったときは連絡すべきかと思うのですが、母が嫌がっていて連絡したくないと言います。母が知ってる範囲で20年以上は絶縁状態のようです。火葬埋葬は同居人でもできるらしいし、相続できるような財産もないので連絡しなくても問題なさそうとも思えるのですが、問題ない訳ないのではと思います。連絡しない場合にどんな問題があるか、弁護士さんに連絡など依頼できるか、依頼した場合どのくらいの費用がかかりそうか教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。

連絡しないことも、のちのトラブルになりかねません。
弁護士から、連絡してもいいでしょう。
費用は、人によって違いますが、10万~20万程度は見ておいたほうがいいでしょう。

連絡しない場合にどんな問題があるか、

後で亡くなったことが分かった場合に、なぜ知らせなかったのか問いただされる可能性はあるかもしれません。
母が遺産を隠しているのではないかと、余計に勘ぐられる可能性もあるかもしれません。
ただ、連絡する義務はないと思います。

弁護士さんに連絡など依頼できるか、

できると思います。

依頼した場合どのくらいの費用がかかりそうか教えていただきたいです。

弁護士によって弁護士費用の基準が違いますので、個別に尋ねられる必要があると思います。
ただ、そうはいっても単に連絡だけなら、10万円以下のような気はします。