お金を貸した証拠はあるが、借用書がありません。返済してもらうことは可能でしょうか?

以前、交際していた相手にお金を貸してしまったまま、返済してくれません。
内容証明を送りたいのですが、彼の住所がわからないので、どうしたら良いでしょうか。
携帯番号、車のナンバーなどはわかります。

携帯電話番号や車のナンバーがわかるなら、弁護士会照会で住所特定は可能です。

弁護士への依頼が必須となります。
照会だけ依頼ということはできません。

>携帯番号、車のナンバーなどはわかります。

携帯番号は4大キャリアへ、車のナンバーは陸運局又は軽自動車検査協会へ弁護士法23条に基づく照会を行えば、
・回線の契約者
・車両の現在の名義人
は、分かります。
その交際相手が回線の実の契約者であったり、車両の実の名義人であれば住所の特定につながりますが、
・元彼・元カノ名義の回線を使用している
・友人の車を借りたり名義残りのまま使用している
場合が稀にあり、この場合は照会しても住所の特定ができない場合もしばしば存在します。

なお、貸金返還請求事件の受任を前提とせず弁護士法23条照会のみを受任する弁護士は基本的にいないと思われます。

弁護士会照会により弁護士に依頼をすれば住所の特定は可能かと思われます。

ただ、車であれば名義人、電話番号であれば契約者の情報までしか辿れないため、それらが第三者であった場合は特定に至らない可能性もあります。

また、住所の調査のみで依頼を受けることはできませんので、返還交渉を含めて弁護士へ依頼することとなるかと思われます。