警察にスマホを調べられた時に違法ダウンロードの動画が見つかった場合の警察の対応は?

警察の取り調べでスマートフォンの中身を調べられたときに違法ダウンロードした動画が見つかった場合、警察は動画の著作権者に刑事、または民事告訴をするように促したりするのでしょうか?

それは事情次第です。
違法ダウンロードと、その被疑者の可能性があるものとして捜査する中での発見なら、そういうこともあるでしょうし、全く別件での調査中なら気にしないこともあるでしょう。

返答ありがとうございます 自分は児童ポルノのダウンロードで知り調べを受ける可能性があるのですが、これは違法ダウンロードと関連されるものにあたりますか? 

それは、可能性としてはあるでしょう。
元が違法な著作物であっても、権利侵害は成立するという裁判例はあります。ただ立件する意向があるかどうかはわかりません。