自家用車の自動車税と車検費用について

名義は夫です。
何度か旅行やドライブで夫も運転しましたが、普段は妻が買物などで使用しています。
離婚調停(同居中)が始まってから、妻が税金も車検も払っています。

現在別居中です。
車は妻が使用しています。
同居中、別居後の税金等は支払い義務があるのはどちらでしょうか。

妻は専業主婦で収入はありません。

よろしくお願いします。

基本的に、毎年4月1日現在の車検証上の所有者(割賦販売により所有権留保がついている場合は使用者)となります。実際に使用している人が払うかどうかは使用者と所有者の合意の問題であって、納税義務には影響しません。