通信販売に該当しクーリングオフは適当外なのでしょうか?

以下の内容は通信販売に該当するのでしょうか

8月9日
18時自宅の猫が脱走し家の周りを捜索
20時頃 探しても見つからず暗くなってきたためすぐに来てくれる業者をインターネットで検索し複数社に連絡
→「担当者から折り返します」と言われ何件かの担当者や担当の会社から連絡があり「最短で〜〇〇からです」という連絡が入る
→その中で一番早く来れるという業者に依頼
→金額を伝えられその金額で了承【123,000円】
→自宅に来た人の名刺にはネットで見たことのない名前が書いてあり検索したところ【着手金2万交通費2,000円〜】と記載あり

仕事内容もかなり杜撰で
・契約通りの時間きちんとやってない(指摘したら時間調整したためと言われた)
・ホームページに記載されている猫を捜索するための特殊器具を使っての捜索はなく我が家にある工具と私にホームセンターに買いに行かせた工具を使い賃貸の通気口を破壊
・報告書もあると書いてあるが一切なし
・契約書もなし

を理由にクーリングオフを申し出ました。
(ショートメールと郵送にて行いましたが郵送した分は居住者が確認できないという事で返ってきました)
業者は通信販売との事でクーリングオフ適用外・契約書は必要ない契約だと主張しています。

ホームページには金額が明記されておらず、通信販売なのか?と疑問に感じております。
納得がいかず時間のことや内容について質問しても弁護士に相談したら?という感じです。
消費者センターの生活レスキュー商法のように詐欺に遭ったようにも感じでおります。
猫が見つからなかった事に対するクレームで返金を求めているわけでなく、緊急だからって高額な料金を請求しきちんと説明もなく杜撰な仕事内容に腹が立っております。

ご意見伺いできますでしょうか?

電話での勧誘であれば、通信販売ではなく、電話勧誘販売に当たります。
お伺いしている限りでは、契約金額や条件については電話口で合意をされていますので、電話勧誘販売にあたるのではないかと考えます。
電話販売にはクーリングオフの規定がありますから、記載内容に拒否があったり、書面交付義務に反していたりする場合は、クーリングオフができるでしょう。
ただし、既にお金を支払ってしまっている場合、実際の業者の連絡先がわからないと、取り返すのは困難かもしれません。
腹立たしいお気持ちはお察しいたしますが、それから先どうするかは、費用対効果も踏まえてお考えいただくのが良いと思います。

佐山先生、ありがとうございます。
金額的にも弁護士の先生にお願いしてナントカ〜というのも難しいと思っております。
少額訴訟や支払い督促など個人でも出来そうな事も調べてみたのですが相手の住所に郵便物が届かないとなるとこちらとしては何も出来る事はないのでしょうか?
ショートメールでのやり取りはできているため、書類を写真で送る等の通知方法などできませんでしょうか。
裁判するには少額ですが私にとっては12万は大金で15時間で適当な仕事をされてすんなり仕方ないなとも思えず。
素人でも何かできることがあればアドバイス頂けないでしょうか。

追記します
良く調べもせず質問してしまいました。
少額訴訟や支払い督促も特別送達という郵便局のサービスでしかできない旨がきちんと書かれておりました。
自力で調査をしても相手が受け取ってくれない事には通常の裁判に移行するしかなさそうですし、12万の被害では現実的ではありませんね。

個人ではショートメールにて連絡の取れる住所を教えてくれるよう催促をするくらいしかできないのでしょうか。
何かアドバイスがありましたらご教示頂きたくよろしくお願いします。