レンタカー事故における運転者への損害賠償請求の可否について相談
お世話になります。
以下の件についてご相談させていただきます。
私はレンタカーの契約者であり、事故当時は助手席に同乗しておりました。
運転していたのは当時の交際相手（以下、彼）であり、彼が居眠り運転をした結果、電柱に衝突して車両は全損、私は全身打撲のけがを負いました。
レンタカー会社との契約者が私であるため、修理費用等の請求は私に来ていますが、事故の直接の原因は彼の重大な過失（居眠り運転）によるものです。なお、レンタカー契約時に保険加入はしておりませんでした。
このような状況で、彼やその親は
「契約者があなたなので、あなたが支払うべき。」と主張しております。
そこで以下の点について、法律上の見解と実務的な対応方法をご教示いただきたく存じます
1.契約者が私であっても、運転者である彼に対してレンタカーの損害費用を「全額請求」**（求償）することは法的に可能でしょうか？
→ 民法709条（不法行為責任）および703条（求償権）に該当するという意見を見たのですが、実務上も通用するのかを確認したいです。
3.今後、レンタカー会社からの請求に応じたうえで、彼に対して正式に請求するには、
・内容証明郵便での請求
・民事調停
・少額訴訟（または通常訴訟）
などのうち、どの手段が現実的・有効でしょうか？
4.その他、保険に加入していなかった私に過失があるという主張に、法的な根拠があるのかもあわせてお聞きしたいです。
どうぞよろしくお願いいたします。
質問１は、居眠りとの重大な過失ですので、全額請求の可能性はあるかと思います。レンタカーの修理代金等を支払った場合は求償請求になるかと思います。
質問３は、相手方が応じそうになければ訴訟が現実的かつ有効です。
質問４は、居眠り運転した加害者側との関係では過失にならないかと思います。
ご参考にしてください。
ご回答ありがとうございます。
お忙しい中、すみません。
求償請求は、どのような方法で行うことができますか？