妊娠中の子の認知について
・私は現在妊娠している
・彼は認知したくないし、関わり合いたくないと言っている。
→その理由として、彼は長年無精子症と診断されていることから女性を妊娠させる能力が無いと認識している。それもあり妊娠を伝えた時に浮気を疑われ関係悪化。一時は連絡手段をブロックされてしまった。ブロックされた事により共通の知人を頼ったが火に油を注ぐ結果になり、より関係は悪化している。
・私は彼との関係を修復した上で二人で子育てをしていきたい。（一番理想の結果）
・弁護士が本格的に動けるのが出産後ということは理解しているので、出産後に速やかに動ける様にするために今回依頼したいと考えている。
・本格的な動きが出産後ということは理解した上で弁護士にお願いしたいのが、出産前に主任通知を彼に送って欲しい。その上で出産前のDNA検査を進めて欲しい（彼の同意が必要なのは理解している）。
ご質問というよりも、依頼する弁護士を募集するという内容でしょうか。
それに顕名で応じることははばかられます。
お近くの弁護士などに直接あたってみてください。
仮に、出産前のDNA検査に相手方が応じた場合であっても、民間企業によるDNA検査（私的鑑定）は、法的な効力を有さないと考えられています。相手方が認知しないと言い続けている状態で、調停等を行っても、証拠として利用できませんのでご留意ください。その場合には、調停等の法的手続きにおいて、DNA鑑定（１０数万円程度）を行うことになります。
そのため、相手方へのお願いベースでのお話しになると思いますので、弁護士に個別にご相談いただくのがよいかと思われます。
出産前であっても、弁護士に依頼することは可能ですし、出産前のDNA親子鑑定を要求すること自体はできるでしょう。
※ただし、出産後のDNA鑑定より費用が高めになるかも知れません。
出産前に受任してもらえば、出産後に、早期に調停申立てができると思います。