損害賠償敗訴後の被告の逃亡と弁護士の責任について

損害賠償請求訴訟で敗訴した被告が、賠償金払わず逃げ、被告の弁護士も逃げている被告に支払い促さなかったり、逃げた先を教えないなどは弁護士懲戒になりますか

なりません。逆に、教えてしまうと元被告側から守秘義務違反で懲戒請求を受け得ます。(訴訟はそのようなリスクを織り込んで起こすべきということです。)