不倫相手への求償権請求の方法と弁護士費用について
不倫による私と相手配偶者の裁判において、損害賠償額が確定しました。不倫相手に対し求償権を請求したいと思っていますが、どのような方法が考えられますでしょうか？
また求償請求の裁判を提起した場合、追加で弁護士費用（着手金）が生じるのでしょうか？
方法として裁判外で交渉として請求をする場合と，いきなり訴訟をする場合とがあります。
話し合いで解決ができれば，訴訟を起こす必要がなく手間もかからないため弁護士費用は安くなることが多いでしょう。
訴訟を提起する場合に追加で着手金が発生するかどうかについては，契約内容によりますので，ご依頼されている弁護士に確認されると良いでしょう。
【不倫による私と相手配偶者の裁判において、損害賠償額が確定】とのことで、和解条項等で不貞相手に対する求償権を貴方が放棄していないことが前提にはなりますが、不貞相手に対して求償権行使の通知書を送付して交渉をし、交渉での解決が難しい場合には提訴するという進行が一般的でしょう。
【また求償請求の裁判を提起した場合、追加で弁護士費用（着手金）が生じるのでしょうか？】というご質問の点については、通常、不貞慰謝料請求訴訟の応訴対応と求償権行使の交渉・訴訟は別事件ということになると思いますので、別途費用がかかるのではないかと思います。