検事は弁護士の私選・国選を把握しているのか？
逮捕され、起訴か、不起訴かになる操作段階の時の検事は、被疑者についてる弁護士が、私選か国選か把握しているのでしょうか？
いわゆる捜査担当検事のことです。
はい。当然把握しています。
裁判所から選任された後、あるいは私選で、その私選弁護人が選任届を提出しているのであれば、その書類が記録に編綴されますから、少なくとも知りうる状態にあります。
私選と国選で検事が対応を変える、(不起訴か略式にするか)みたいなことはありますか？
検察で私選か国選かは把握しています。ただ、それにより検察側の対応が変わるということはないでしょう。私選だから軽い処分になりやすいということはありません。