当事者ではなく、利害関係者として調停調書を閲覧又は謄写することはできます。 具体的には、利害関係を疎明する必要があります。 調停調書を確認したい理由を明らかにし、戸籍謄本等で、ご質問者様とご両親の関係を明らかにすることで足りるかと存じます。 事件番号が分からない場合、事件特定のため多少時間は掛かりますが、調停調書の閲覧や謄写はできるでしょう。

>親権で争ったので、私（子ども）も当事者に入るため、両親以外も申請できるのかなと思いました。 おそらく認識としては「当事者」ということかと思いますが、家事事件の「当事者」は紛争において争っている申立人・相手方を指すのが通常で、渦中の子ども本人は「未成年者」という扱いで利害関係人として扱われるのが一般的ではないかと思います。 事件番号が分からなくとも当事者の名前と時期が分かれば特定はできると思いますが、係属していた家庭裁判所が分かることが大前提です。異なる庁に係属している事件についてまでは裁判所といえどわかりません。 なお、利害関係人の閲覧・謄写については裁判官が必要性を判断しますので、閲覧する必要性が認められなければ、難しいことが予想されます。 このことは、弁護士に依頼したとしても変わりません。