不倫相手の妻からの慰謝料請求メッセージの法的効力は?

不倫相手の妻からショートメッセージやラインで慰謝料請求や示談金請求などが送られてきた際、法的に有効なものになりますか?また、それに応じなければ控訴を提起する、など記載されていました。

請求された=法的な効力が発生するわけではありません。
もっとも、不倫していたのが事実なのであれば、対応しなければ訴訟提起される可能性はあると思います。

慰謝料や示談金の請求について、どのような形式でしなければならないというルールは基本的にはありません。請求の意思が表示されたという点で法的な意味はあるので、貴方としては、支払う/反論する/減額交渉を試みるといった対応をする必要があるでしょう。

慰謝料請求の仕方については、別に書面でも口頭でもメールでもLINEでも何でも構いません。応じなければ訴訟を提起するということは、当然あり得る話であると思います。ただ、通常、当初の慰謝料請求は、金額が相場よりも高いものが記載されていることが多いので、そのまま支払うのではなくてきちんと弁護士に相当な金額を見立ててもらってから対応をするべきであろうかと思います。