夫と別居中の家賃の支払い、賃貸契約変更にどう対応すべきか?

2年前から夫と別居しており、夫には離婚を求められております。
離婚理由は性格の不一致と夫の代理人の弁護士からの通知書には記載されておりました。
わたしは婚姻継続を希望しております。
入籍7年で子どもなし、収入はほぼ同額、同居中の生活費は折半しておりました。

2人で住むために契約した賃貸は夫が契約者、私が同居人として契約しています。
夫が何の前触れもなく家出をし別居が始まり、私はそのまま住み続けています。
家賃は夫の口座から引き落とされるため、現在私は1円も家賃は払っておりません。

夫はわたしが仕事で不在の間に荷物を取りに来ており、今現在ほぼ夫個人の荷物は残っておりません。
夫の代理人弁護士より家賃の支払い及び賃貸契約人の名義変更を求められておりますが、受け入れなければいけないのでしょうか?
わたしは別居には一切同意しておりません。
家賃の全額負担や名義変更が必要ならば、引っ越しをしたいと思うのですが、引っ越しをしたら別居を受け入れたと思われてしまうのでしょうか?
別居を受け入れることにより婚姻継続の可能性が低くなってしまう事はないでしょうか?

引っ越しをしたら別居を受け入れたと思われてしまうのでしょうか?
別居を受け入れることにより婚姻継続の可能性が低くなってしまう事はないでしょうか?

いいえ。ただちにそうなる訳ではありません。
金銭的な条件で、そのまま住み続ける(家賃を全額支払う)のが困難ということであれば、引っ越すことはやむを得ませんし、そのことと、離婚に応じるかどうかは別問題です。
ただ、そのこととは関係なく、相手の意思として婚姻継続の気持ちがないということであれば、法的にただちに離婚とならないまでも、今後今までのような婚姻継続の可能性は低いとはいえそうです。

家賃の支払いと名義変更に応じる義務はありません。
もっとも、相手が勝手に払わないなど対応すると、家主から追い出されるリスクはあります。
家を維持したから話し合いで有利になるということはないので、住みたくないなら出てよいと思います。