遺言執行者辞任後の新たな選任手続き方法について教えてください

父の遺言執行者から辞任が決定したとの通知が文書でありました。
この後、新たな執行者の選任をする必要があると聞いたのですが、具体的にどうすればいいのでしょうか?

相続人は私を含めた兄弟3人です。
遺言書は辞任した執行者から原本が私のところに送られてきています。
ちなみに相続でもめたため、兄弟3人とも連絡は取ることができません。
だから私が新たな執行者選任の手続きをすべきなのかどうかわからないです。
よろしくお願いいたします。

家庭裁判所に遺言執行者選任の申し立てをすることになるでしょう。
参考書式は検索すれば見つかるでしょうから、利用するといいでしょう。

この後、新たな執行者の選任をする必要があると聞いたのですが、具体的にどうすればいいのでしょうか?
遺言があった場合、必ず遺言執行者が必要とは限りません。
まず、弁護士に遺言書を見てもらい、遺言執行者が必要な遺言なのかどうか
相談された方がよいと思います。
その上で、遺言執行者がいないと執行できない遺言であった場合には
裁判所にあなたが(あるいは弁護士に依頼して)遺言執行者の選任の申立てを
されたら良いと思います。

弁護士に面談で遺言書を見せて相談された方がよいと思います。