未婚で子供を産んだ場合の父親特定とDNA鑑定の法的手続きについて

未婚で子供を産みました。現在子供は5ヶ月です。

恥ずかしながら父親候補が当初3人いました。区役所に行き助産師さんに事情を説明したところ1人は父親の線が薄いと言われたので残る2人が候補なのですが、1人と連絡が一切取れない状況にいます。

1番父親として可能性が高いと言われた方とは連絡が取れるので、その方にDNA鑑定を依頼したいのですが断られて連絡先をブロックされた場合は、もうそこまででしょうか。
住所や電話番号は知りません。

1度妊娠前に子供が出来たとは伝えていたのですが、生まれた報告をしたら態度が変わり、適当なこと言うな。今謝ったら許す。と言われてしまったので、また連絡をしDNA鑑定の参加を要求しても素直に応じると思えません…。

母子家庭で私自身現在の収入もほぼゼロに近く裁判を起こせるようなお金もありません。
DNA鑑定費は貯めて全額私が払ってやってもらおうと思っています。

また、DNA鑑定の結果父親でなかった場合、向こうからなにか訴えられるなどの可能性はありますでしょうか。

父親でないことを知っていて調停をするなら、慰謝料請求されますが、
知らないならば、責任を問われることはないでしょう。
該当候補者の住所、勤務先を探し出すことですね。
調停自体にかかる費用は、些少です。