支払う必要があるかしりたい

私が亡くなったら、住民税、公共料金等普段、支払っているのは、母親や妹の親族が払わなきゃいけないのでしょうか。

お母さんや妹さんは、相談者さんの財産を相続されなければ(相続放棄をすれば)、支払未了の住民税や公共料金を納付する義務はありません。
他方で、相続された場合、支払う義務が生じますのでご注意ください。