美容室 返金しなければならないのか

美容師です。先日ご来店したお客様から返金を要求され、しなければネットに悪評を書く、裁判をする、と言われて返金しなければならないのか困っております。
カラーのみで当店は初めて来店され、元々色むらがすごかったため一色にはなりづらくムラになってしまう旨があることは最初にお伝えしましたが、聞いてないと言われ(カウンセリングの録音等はしていない)、色むらが気に入らないから返金しろとの事で、当店では返金対応はしていないお直しをさせて下さいと伝えても、もう来店したくないとの事で、元々精神疾患で障害者手帳を持っていてこのせいで薬もたくさん飲んでしまった、と頑なに返金を求められています。

この場合返金はしなければならないのでしょうか、また訴訟となった場合負ける可能性はあるでしょうか?

お伺いする限り、色むらについて、結果の約束があったのかや、技術的な落ち度があったのか等踏まえ、
こちらの過失があったとされるか次第かと思います。
ただ、そのあたりは、個別具体的な事情の基づいての個々の事案ごとの評価になるところなので、明確にどちらかと言うほどの見立ては掲示板上ではできませんが、訴訟等で争うとなると、こちらも勝ち目はあるようには思われます。

個別の状況にもよりますが、訴訟をするというならどうぞしてくださいと向こうの動きを待つ、悪評については誹謗中傷等違法性を帯びるようなものがなされてしまえば発信者情報開示請求や損害賠償請求等を検討するなど、突っぱねる方法であれば、このような流れを検討することになるかと思います。
一方、争うコストや紛争となっている代金額を踏まえて、縁切り料と思って早々に返金をして終わらせるとの方法もあり得ます(ただし、一般的に、返金をした後でも損害賠償が~、など追加で請求をして来たり、返金したにもかかわらずアレコレとあることないこと悪評をバラまくような方もいらっしゃるので、返金に際して合意書を巻いておく等の方法も検討されても良いかと思います)

いずれにせよ、本件、実際に弁護士事務所にてより詳細な事情に基づいてご相談されてみてもよい案件のように思われますので、一度お近くの弁護士事務所にてご相談されてることをご検討ください。