業務委託先とのトラブル

A社と業務委託契約を結んで、軽貨物ドライバーをしています。

入社時にA社からの申し出で自動車保険に入るよう指示されたので入りました。
しかし、こちらの都合で6月一杯で契約を解除することになったのですが、A社から自動車保険解約について何も連絡がなく、今になって解約の手続きが必要だと言われました。

そのため、車両を使用していない7・8月分の保険料も支払わないといけません。

保険加入時や、業務委託契約解約時に、自動車保険は自分で解約の手続きをするように等の説明は全く受けていないため、保険契約時同様A社側で手続きして貰える認識でした。

今更自分で解約してと言われても腑に落ちないのですが、どうにか7・8月分の保険料をA社に負担してもらうことは出来ないのでしょうか。

追記です。
自動車保険会社に確認したら、解約時にはA社からの手続きが必要とのことでした。

こちらは何の説明もなく…。
もし私が払わなければいけない場合、少額訴訟等でA社に費用を請求出来ますでしょうか。

本来A社が負担すべきですね。
A社の説明不足と思います。
A社の過失責任で、不法行為による損害賠償請求になりますかね。